Bài toán Simon Stevin

Nhà toán học và kĩ sư Simon Stevin (1548-1620) là người đã nghiên cứu các nguyên lí của cơ học và các cỗ máy. Ông đã thấy nhiều đề xuất động cơ vĩnh cửu. Một đề xuất đặc biệt gây sự chú ý của ông: một chuỗi quả cầu trên một cặp mặt nghiêng không đối xứng. Một số người chế tạo khẳng định rằng thiết bị sẽ tự chạy vì có nhiều quả cầu hơn, và do đó có sức nặng lớn hơn, ở một phía của thiết bị. Họ đảm bảo rằng nó sẽ hoạt động nếu bạn chỉ cần tống tiễn nốt thứ lực ma sát phiền hà kia.

Stevin đã phân tích thiết bị này và chứng tỏ rằng chuỗi quả cầu sẽ không chuyển động, vì thực ra thì hệ đang ở trạng thái cân bằng tĩnh. Trong khi phân tích, ông đã phát minh ra một nguyên tắc quan trọng dùng trong phân tích các cỗ máy: Nguyên tắc Công ảo có thể tìm thấy ngay cả trong các sách vở cơ kĩ thuật ngày nay. Nguyên tắc này quan trọng đến mức hình vẽ chuỗi quả cầu này xuất hiện ngay trên trang nhất của quyển sách của Stevin viết về cơ học, và trên mộ bia của ông.

Thành tựu của Stevin là một thí dụ có từ sớm về cách thức người ta có thể cẩn thận phân tích một cơ hệ để xác định xem nó có hoạt động hay không (và hoạt động như thế nào). Stevin hoàn thành kì công này từ lâu trước khi phép phân tích lực được người ta hiểu rõ, và trước khi có các định luật của nhiệt động lực học. Stevin còn đưa ra thủ thuật hữu ích trong việc phân tích cơ học trong trường hợp “lí tưởng” trong đó ma sát được giả sử không có mặt.

Nguyên lí Stevin có ích trong các bài toán cân bằng, và nó tương đương về mặt toán học với phép phân tích lực. Trong một cơ hệ, có phải mọi thứ tự do chuyển động hay không? Một cách giải quyết vấn đề là khảo sát các lực và mômen quay đặt vào mỗi phần của hệ. Nếu chúng cộng lại bằng không, thì những bộ phận đó sẽ không thu gia tốc.

Nguyên tắc Stevin cho phép chúng ta làm như vậy theo một kiểu khác (nhưng tương đương). Phương pháp đó bắt đầu bằng việc tưởng tượng ra một sự “dịch chuyển ảo” của hệ, sau đó tính công sẽ được thực hiện bởi mỗi lực trong chuyển động “ảo” này. Công này được gọi là “công ảo”. Nếu như tổng công thực hiện bởi các lực ảo là bằng không, thì hệ ở trạng thái cân bằng, và sẽ không thu gia tốc. Trên thực tế, phép phân tích này thường được thực hiện bằng cách tưởng tượng ra những sự dịch chuyển rất nhỏ.

[Các dịch chuyển ảo không nhất thiết phải có thực hay là khả năng có thể xảy ra. Ví dụ, để tính lực căng trong một dầm cầu, người ta có thể tưởng tượng dầm cầm đó bị gãy hoặc bị cắt ra và các mảnh được phép chuyển động.]

Phương pháp này đặc biệt có ích đối với những hệ không ma sát hoặc gần như thế. Phương pháp này thật lí tưởng cho việc khảo sát các đề xuất động cơ vĩnh cửu. Nó là một thí nghiệm Gedanken (tưởng tượng), nhưng khi trong tay chẳng có mô hình máy nào hoạt động được thì đó là tất cả những gì chúng ta phải làm. Chúng ta hãy tưởng tượng hệ không có ma sát (để cho tiện lợi với nhà phát minh), sau đó nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng ngay cả với tiện lợi này mà cỗ máy vẫn không thể hoạt động như đã khẳng định, thì chúng ta có thể giới thiệu đề xuất đó với Bảo tàng của những thiết bị không bao giờ hoạt động.

Trước khi ta quay trở lại với bài toán của Stevin về hai bờ dốc nghiêng và chuỗi quả cầu, trước hết hãy xét bài toán có liên quan là một con dốc kép có chiều cao z và chiều dài dốc là x và y. Giả sử x < y. Một vật nặng A ở trên bờ dốc x và một vật nặng B ở trên bờ dốc y.  Chúng được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua một cái ròng rọc ở trên đỉnh dốc.

Ghi nhớ: Công được thực hiện trên một vật khi nó chuyển động dưới tác dụng của một lực nào đó. Công là tích của thành phần lực theo hướng của chuyển động và khoảng cách mà vật đã di chuyển.

Hãy tưởng tượng một chuyển động của A leo lên bờ dốc chiều dài x di chuyển khối lượng A một khoảng cách thẳng đứng z. Chuyển động này làm cho B di chuyển một khoảng cách bằng x xuống bờ dốc của nó, hay một phần x/y của chiều dài của bờ dốc đó, và do đó di  chuyển một khoảng cách thẳng đứng đi xuống là (x/y)z. Chúng ta kết luận rằng trong trạng thái cân bằng, những khối lượng và khoảng cách này phải thỏa mãn Ay = Bx, hoặc A/B = x/y.

Trở lại bài toán Stevin, sử dụng bờ dốc tương tự, phần chuỗi ở trên bờ dốc x có chiều dài x. Phần ở trên trục y có chiều dài y. Các trọng lượng của chuỗi tỉ lệ với các chiều dài, nên A/B = x/y tự động thỏa mãn điều kiện cân bằng. Do đó, hệ sẽ không tự chuyển động được. Vòng chuỗi bên dưới rõ ràng chẳng đóng góp gì cho việc làm xáo trộn sự cân bằng.

Nguyên tắc công ảo có thể mở rộng cho các mômen lực, và ở dạng hiện đại, nó được phát biểu như sau:

Nếu như công ảo thực hiện bởi toàn bộ các ngoại lực (và mômen lực) tác dụng lên một hạt, một vật rắn, hay một hệ các vật rắn liên kết với các kết nối và vật đỡ lí tưởng (không có ma sát) bằng không đối với tất cả những dịch chuyển ảo của hệ, thì hệ đó ở trạng thái cân bằng.

Chúng ta không nên bỏ qua vòng dây bên dưới, vì nó đang thực hiện vai trò rất quan trọng ở đây. Trong bất kì chuyển động ảo (tưởng tượng) nào, nó đang tiếp tế vật nặng mới cho phần chuỗi nằm trên một bên của bờ dốc đúng bằng tốc độ mà phần chuỗi ở phía bên kia của bờ dốc mất vật nặng. Nó đang cung cấp động lượng cho một đoạn của chuỗi ở tốc độ bằng với tốc độ mất động lượng từ đoạn bên kia. Tuy nhiên, việc này chẳng cải thiện cơ hội thực hiện công của cỗ máy. Nó là một cơ chế giữ cho phần dốc của hệ không thay đổi theo thời gian, ngay cả trong chuyển động ảo. Chúng ta sẽ thấy quá trình này thực hiên công (công ảo, tất nhiên) trong nhiều đề xuất động cơ vĩnh cửu khác.

Chúng ta có thể phát biểu lại nguyên tắc Stevin ở một dạng dễ áp dụng trực tiếp hơn cho các dụng cụ được khẳng định là những cỗ máy chuyển động vĩnh cửu:

Nếu một chuyển động giả định (ảo) của cỗ máy mang lại một trạng thái cuối cùng của hệ (cỗ máy và môi trường tương tác của nó) không thể phân biệt với trạng thái ban đầu của nó, và công toàn phần bằng không được thực hiện trên hệ trong suốt chuyển động này (không nhận công; không thực hiện công ra bên ngoài), thì chuyển động giả sử đó sẽ không xảy ra.

Nguyên tắc Stevin là một bước phát triển đầu tiên đặc biệt thích hợp trong việc phân tích những cỗ máy kiểu bánh xe trong đó một chuyển động quay hữu hạn của bánh xe chẳng gây ra sự thay đổi vị trí nào của nó. Nó đặc biệt hữu ích khi phân tích những cỗ máy trong đó sự phân tích ngẫu nhiên ban đầu của nhà phát minh (thường chứa một thiếu sót về mặt cơ sở vật lí hoặc lí giải) dẫn chúng ta đến chỗ nghĩ “Cỗ máy đó chắc chắn sẽ quay”. Nó lập tức khiến người ta nghi ngờ bánh xe Honnecort cũng như bài toán ban đầu của Stevin về chuỗi quả cầu trên dốc nghiêng. Đa số thí dụ trong sách vở của nguyên tắc Stevin chỉ thể hiện những trường hợp trong đó trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng của hệ khác nhau rất nhiều. Nhưng sức mạnh thật sự của nguyên tắc ấy là ở chỗ nó còn có thể áp dụng cho những trường hợp trong đó trạng thái cuối cùng “giống hệt như” trạng thái ban đầu.

Với những cỗ máy có hành trạng “tuần hoàn” (đa số như thế), thì phân tích phải được thực hiện trong suốt một chu trình hoàn chỉnh, để cho năng lượng có thể được dự trữ trong một phần của chu trình và rồi giải phóng trong một phần khác của chu trình.

Nhắc lại với hình ảnh hai dốc nghiêng. Nếu người ta tưởng tượng chuỗi quả cầu chịu một chuyển động ảo mang mỗi quả cầu đến vị trí chiếm giữ bởi quả cầu tiếp theo, thì các trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng là giống hệt nhau. Nguyên tắc Stevin khi đó phát biểu rằng chuỗi quả cầu sẽ không tự trải qua chuyển động này.

(theo The Museum of Unworkable Devices)